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    在抛物线y=x2上依次取两点，它们的横坐标分别为x1=1，x2=3，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为 ________．

    （2，4）
    分析：把x1=1，x2=3代入抛物线方程可分别求得两点的纵坐标，进而求得割线的斜率，然后对抛物线方程进行求导，利用切线斜率为4求得x的值，把x的值代入抛物线方程进去求得P点的坐标．
    解答：把x1=1，x2=3代入抛物线方程求得y1=1，y2=9
    ∴割线斜率k==4
    对抛物线方程求导得y'=2x
    ∵抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，
    ∴2x=4，x=2
    把x=2代入抛物线方程求得y=4
    ∴P点为（2，4）
    故答案为：（2，4）
    点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系．考查了综合分析问题和解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三第五次质量检测文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F1.

    （Ⅰ）求椭圆E的方程；

    （Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

    【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

    ，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

    解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

    ①………………………………1分

      ②………………２分

      ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

    所以椭圆E的方程为…………………………4分

    (Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

     代入椭圆E方程，得…………………………6分

    ………………………7分

    、………………8分

    ………………………9分

    ……………………………10分

        当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1 +x2=4，圆心为（2，1），半径为2，

    圆P的方程为（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分

    同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

    圆P的方程为（x+2）2+(y+1)2=4

     

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