Question

已知数列{a_n}，且x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．数列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2(1-

1

an

)，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若cn=

3nlogtan

3n-1

，证明：

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用函数极值的定义得出数列相邻两项之间的关系是解决本题的关键，关键要确定出相关数列为特殊数列，从而达到求解的目的；
（2）求出数列{b_n}的前n项和S_n是解决本题的关键，根据已知条件确定出关于n的不等式，通过解不等式求出正整数n的最小值；
（3）首先要确定出c_n的表达式，利用分析法完成不等式的证明，注意约分思想的运用．

解答：解：（1）f′（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
所以f′(

t

)=3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0．整理得：a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）．
当t=1时，{a_n-a_n-1}是常数列，得a_n=1；
当t≠1时，{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=t²-t为首项，t为公比的等比数列，所以a_n-a_n-1=（t²-t）•t^n-2=（t-1）•t^n-1
由上式得：a_n-tⁿ=a_n-1-t^n-1，所以{a_n-tⁿ}是常数列，a_n-tⁿ=a₁-t=0，a_n=tⁿ（n≥2）．又，当t=1时上式仍然成立，故a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）当t=2时，bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴Sn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

．

由S_n＞2010，得2n-2+2(

1

2

)n＞2010，n+(

1

2

)n＞1006，
当n≤1005时，n+(

1

2

)n＜1006，当n≥1006时，n+(

1

2

)n＞1006，
因此n的最小值为1006．
（3）cn=

n•3n

3n-1

且c1=

3

2

，所以

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

等价于

c1

1

•

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜2等价于(1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1

2

因为1-

1

3n

=

(1- 1 3n )(1+ 1 3n-1 )

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n-1 - 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n + 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

≥

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

，
所以(1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1+ 1 3

1+1

•

1+ 1 32

1+ 1 3

…

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n

2

＞

1

2

，从而原命题得证．

点评：本题属于函数、数列、不等式的综合问题，首先通过数列与函数的联系，得出数列某些项之间的关系，然后利用数列的知识实现求通项和求前n项和的计算，考查分析法证明不等式的思想和意识．