Question

若数列{a_n}满足

1

an+1

-

1

an

=d（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为“调和数列”．已知正项数列{

1

bn

}为“调和数列”，且b₁+b₂+…+b₉=90，则b₄•b₆的最大值是

100

．

Answer 1

分析：利用新定义，确定{b_n}是等差数列，进而可得数列首项与公差的关系，由此可得结论．

解答：解：∵正项数列{

1

bn

}为“调和数列”，
∴b_n+1-b_n=d
∴{b_n}是等差数列
∵b₁+b₂+…+b₉=90，
∴9b1+

9×8

2

d=90
∴b₁+4d=10
∴b₁=10-4d
∵b₁＞0，d≥0
∴0≤d＜2.5
∴b₄•b₆=（10-4d+3d）（10-4d+5d）=100-d²，
∴d=0时，b₄•b₆的最大值是100
故答案为：100

点评：本题考查新定义，考查等差数列，考查学生的计算能力，属于基础题．