Question

如图所示，四边形ABCD和ABEF都是正方形，点M是DF的中点．
（I）求证：AM⊥平面CDFE；
（II）求证：DF∥平面BCE．

Answer 1

证明：（ I）∵四边形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB⊥AF，AB⊥AD，
又AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF．
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面ADF．
∵AM?平面ADF，
∴AM⊥EF．
∵AD=AF，在△ADF中，M是DF的中点，
∴AM⊥DF．
又∵DF∩EF=F，
∴AM⊥平面CDFE．
（II）由四边形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB∥EF，AB=EF，AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴DF∥CE．
又∵DF?平面BCE，CE?平面BCE，
∴DF∥平面BCE．
分析：（I）由已知中四边形ABCD和ABEF都是正方形，易得AB⊥AF，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面ADF，则EF⊥平面ADF也成立，结合线面垂直的性质，可得AM⊥EF，再由点M是DF的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AM⊥DF，结合线面垂直的判定定理即可得到AM⊥平面CDFE；
（II）由四边形ABCD和ABEF都是正方形，易证明四边形CDFE为平行四边形，则DF∥CE，由线面平行的判定定理，即可得到DF∥平面BCE
点评：本题考查的知识点是，线面垂直的判定及性质，线面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面垂直及平行的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．