Question

已知函数y=

2

x-1

（1）判断函数在区间（1，+∞）上的单调性
（2）求函数在区间是区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义判断函数在区间（1，+∞）上的单调性．
（2）利用函数单调性和最值之间的关系确定函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）设x₁、x₂是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-1)-2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在区间[2，6]上单调递减．
∴当x=2时，f（x）取得最大值f（2）=2，
当x=6时，f（x）取得最大值f（6）=

2

6-1

=

2

5

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用定义法是证明单调性的基本方法，利用函数的单调性是解决函数最值的常用方法．