Question

已知动圆P过点N(

5

，0)并且与圆M：(x+

5

)2+y2=16相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若

DA

•

DB

=0，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意可知|PM|-|PN|=4由双曲线的定义可知W是以M，N为焦点的双曲线的右支，则曲线方程可得．
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，x₁，x₂和判别式确定k的范围．
（3）利用A，B的坐标表示出

DA

•

DB

，根据结果为0整理求得m，则直线的方程可得，根据直线方程可知直线l过定点，定点坐标为(

10

3

，0)．

解答：解：（Ⅰ）由已知|PM|-|PN|=4，|MN|=2

5

，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且a=2，c=

5

，b=1．
∴轨迹W的方程为

x2

4

-y2=1(x≥2)．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由

y=k(x-m) x2 4 -y2=1

得（1-4k²）x²+8k²mx-4k²m-4=0．
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2m

4k2-1

＞0，①
x1x2=

4k2m2+4

4k2-1

＞0，②
△=64k⁴m²+4（1-4k²）（4k²m²+4）＞0．③
由①②③得4k²＞1．
∴直线l斜率k的取值范围是(-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）

DA

•

DB

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k（x₁-m）k（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-（2+mk²）（x₁+x₂）+4+k²m²
=

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2．
∵

DA

•

DB

=0，
∴

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2=0，
∴（1+k²）（4k²m²）-（2+mk²）8mk²+（4+k²m²）（4k²-1）=0，
∴20k²-16k²m+3k²m²=0．
∵k≠0，
∴3m²-16m+20=0，解得m=

10

3

，或m=2（舍）．
∴直线l的方程为y=k(x-

10

3

)．
∴直线l过定点，定点坐标为(

10

3

，0)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．