Question

给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为

①②

．
①设

a

，

b

均为单位向量，若|

a

+

b

|＞1，则θ∈[0，

2π

3

)
②函数f （x）=xsinx+l，当x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

Answer 1

分析：①设

a

与

b

的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得

a

•

b

=-

1

2

，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的范围．
②先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性，即可得到结论．
③由题意可得 a²-2=2-b²，从而即可求出a²+b²的值，利用直线与圆的位置关系可得动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值，注意等号成立的条件．

解答：解：①设

a

与

b

的夹角为θ，
∵|

a

+

b

|＞1，∴（

a

+

b

）²=

a

²+2

a

•

b

+

b

²＞1…（*）
∵向量

a

，

b

均为单位向量，可得|

a

|=|

b

|=1
∴代入（*）式，得1+2

a

•

b

+1=1＞1，所以

a

•

b

＞-

1

2

根据向量数量积的定义，得|

a

|•|

b

|cosθ＞-

1

2

∴cosθ＞-

1

2

，结合θ∈[0，π]，得θ∈[0，

2π

3

)．①正确．
②由已知得f（x）是偶函数，且在区间[0，

π

2

]上递增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正确；
③∵函数f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，0＜a＜

2

即 a²+b²=4，0＜a＜

2

，故动点P（a，b）在圆弧a²+b²=4（0＜a＜

2

）上，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r=

15

5

-2=1，此时点P不在圆弧上，故不正确．
故答案为：①②．

点评：本题主要考查向量的有关概念、导数的应用、函数的图象及综合应用能力．