Question

甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E（X）．

Answer 1

分析：（I）依题意每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a_n}，根据a₁=40，a_n=10n+30，得到数列的前n项和，得到n的值，从而可得结论；
（II）确定随机变量X可取的值，求出相应的概率，即可求X的均值E（X）．

解答：解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{a_n}，则易知a₁=40，a_n=10n+30，
∴Sn=

n(10n+70)

2

=300，
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此决赛共比赛了5场．        …（3分）
则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

；…（6分）
（II）随机变量X可取的值为S₄，S₅，S₆，S₇，即220，300，390，490    …（7分）
又P(X=220)=2•(

1

2

)4=

1

8

，P(X=300)=

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

…（8分）P(X=390)=

C

2 5

(

1

2

)5=

5

16

，P(X=490)=

C

3 6

(

1

2

)6=

5

16

…（12分）
所以，X的分布列为

X	220	300	390	490
P	1 8	1 4	5 16	5 16

所以X的均值为E（X）=220×

1

8

+300×

1

4

+390×

5

16

+490×

5

16

=377.5．

点评：本题考查概率的计算，考查等差数列的运用，考查离散型随机变量的分布列与均值，考查学生的计算能力，属于中档题．