Question

10．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x²-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：$\frac{4}{4×{1}^{2}-1}$+$\frac{4×2}{4×{2}^{2}-1}$+…+$\frac{4×n}{4×{n}^{2}-1}$＞ln（2n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入m=1时，f（x）=g（x）即xlnx=x²-1，整理方程得lnx-x+$\frac{1}{x}$=0，利用导函数判断函数的单调性为递减函数，故最多有一个零点，而h（1）=0，故方程f（x）=g（x）有惟一的实根x=1；
（Ⅱ）对于任意的x∈（1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，通过构造函数设F（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），利用导函数判断函数的单调性，F′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$，通过讨论m，判断是否符合题意；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=$\frac{1}{2}$时，lnx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）成立．结合题型，构造不妨令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$＞1，（k∈N*），得出ln（2k+1）-ln（2k-1）＜$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，（k∈N^*），利用累加可得结论．

解答 （Ⅰ）m=1时，f（x）=g（x）即xlnx=x²-1，
整理方程得lnx-x+$\frac{1}{x}$=0，
∵x＞0，所以方程即为lnx-x+$\frac{1}{x}$=0，
令h（x）=lnx-x+$\frac{1}{x}$，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{-[（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]}{{x}^{2}}$＜0，
∴h（x）单调递减，而h（1）=0，故方程f（x）=g（x）有惟一的实根x=1；
（Ⅱ）对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，
∴lnx＜m（x-$\frac{1}{x}$），
设F（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即?x∈[1，+∞），F（x）≤0，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$①
若m≤0，则F'（x）＞0，F（x）＞F（1）=0，这与题设F（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²，
当△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$时，F'（x）≤0，
∴F（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴F（x）≤F（1）=0，即不等式成立，
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，方程-mx²+x-m=0有两正实根，设两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（0，1），x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（1，+∞），
当x∈（1，x₂），F'（x）＞0，F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=0与题设矛盾，
综上所述，m＞$\frac{1}{2}$．
所以，实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=$\frac{1}{2}$时，lnx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）成立．
不妨令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$＞1，（k∈N*），
所以ln$\frac{2k+1}{2k-1}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{2k+1}{2k-1}$-$\frac{2k-1}{2k+1}$）=$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，
即ln（2k+1）-ln（2k-1）＜$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，（k∈N*）
ln3-ln1＜$\frac{4}{4×{1}^{2}-1}$，ln5-ln3＜$\frac{4×2}{4×{2}^{2}-1}$，…，ln（2n+1）-ln（2n-1）＜$\frac{4×n}{4×{n}^{2}-1}$，
累加可得，$\frac{4}{4×{1}^{2}-1}$+$\frac{4×2}{4×{2}^{2}-1}$+…+$\frac{4×n}{4×{n}^{2}-1}$＞ln（2n+1）．

点评 本题考查了零点与单调性，利用导数判断恒成立问题，利用已证结论，构造函数解决实际问题．属于难题．