Question

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MD，ME，且MD，ME所在直线的斜率为k₁，k₂，满足k₁k₂=1，
求证：直线DE过定点，并求出这个定点．

Answer 1

分析：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，由此能得到所求的P点的轨迹C的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a，并设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．联立：

y2=4x x=my+a

，代入整理得y²-4my-4a=0，再由韦达定理进行求解．

解答：解：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，

PN

+

1

2

NF

=(-x，-

1

2

y)，(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0?-2x+

1

2

y2=0
化简得y²=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a，
并设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．联立：

y2=4x x=my+a

代入整理得y²-4my-4a=0从而有y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4a②
又k1k2=1?

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=1，又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴k1k2=1?

y1-2

y 2 1 4 -1

•

y2-2

y 2 2 4 -1

=1
?

16

(y1+2)(y2+2)

=1?（y₁+2）（y₂+2）=16，展开即得y₁y₂+2（y₁+y₂）-12=0
将①②代入得-4a+2×4m-12=0，即a=2m-3，得，DE：x=my+2m-3，
即（x+3）=m（y+2），故直线DE经过（-3，-2）这个定点．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法和证明直线DE过定点，并求出这个定点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．