Question

（1）(2x+ 

1

3 x

)8的展开式中的常数项是

 

，（2x-1）⁶展开式中x²的系数为

 

（用数字作答）；
（2）（x+

1

x2

）⁹的二项展开式中系数最大的项为

 

，在x²（1-2x）⁶的展开式中，x⁵的系数为

 

；
（3）如果（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，那么a₁+a₂+a₃+…+a₇=

 

，已知（1+kx²）⁶（k是正整数）的展开式中，x⁸的系数小于120，则k=

 

．

Answer 1

分析：（1）写出两个二项式的通项，根据要求的常数项，使得通项的x的指数等于0，得到常数项，使得指数等于2，求出结果．
（2）写出两个二项式的通项，根据要求的展开式中系数最大的项，根据组合数的性质得到结果，使得指数等于5，求出结果．
（3）给二项式中的x赋值，使得x等于0，1，得到结果．写出两个二项式的通项，使得指数等于8，系数小于120，根据k是一个整数．得到结果．

解答：解：（1））(2x+ 

1

3 x

)8的展开式中的通项是

C

r 8

(2x)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

28-rx8-

4r

3

∴8-

4r

3

=0，r=6
∴常数项是112
（2x-1）⁶的通项是（-1）^rC₆^r2^6-rx^6-r，
当6-r=2，
∴r=4，
∴系数是60，
（2））（x+

1

x2

）⁹的通项是C₉^rx^9-3r，
系数最大的项是r=5
∴系数最大的项是126x^-6，
x²（1-2x）⁶的通项是C₆^r（-2）^rx^r+2，
∴x⁵的系数为r=3时，系数是-160
（3）∵（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
当x=1时，a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1-a₀
当x=0时，a₀=1．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2，
（1+kx²）⁶的通项是C₆^rk^rx^r+2
x⁸的系数小于120，
∴C₆⁴K⁴＜120，
∵k是正整数
∴k=1，
故答案为：（1）112；60
（2）126x^-6；-160
（3）-2；1

点评：本题考查二项式定理的应用，包括赋值思想的应用，本题是一个综合题目，包括二项式的所有内容，注意计算时一些负指数不要出错．