Question

点是曲线上的动点，曲线在点处的切线与轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个结论：①;②△的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得△为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是

A．1                B．2                C．3                D．0

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】

试题分析：设动点P(m，)（m＞0），则y^′=-，∴f^′(m)=-，

∴过动点P(m，)的切线方程为：y-=-(x-m)．

①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，)．

则|PA|=，|PB|=，∴|PA|=|PB|，故①正确；

②由上面可知：△OAB的周长=2m++2≥2×2+2=4+2，当且仅当m=，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2，即②正确．

③假设曲线C上存在两点M(a，)，N(b，)，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．

则|ON|=|OM|，，

所以

化为，解得，故假设成立．因此③正确．

故选C。

考点：本题主要考查导数的概念及应用；不等式的解法及应用。

点评：理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．较难。