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    已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
    （1）试用n，k表示：F（1），F（0）
    （2）证明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

    解：（1）fk（1）=（n-k+1），fk（0）=0
    F（1）=Cn°f0（1）+Cn1f1（1）+…+Cnkfk（1）+…+Cnnfn（1）
    =Cn°（n+1）+Cn1 （n）+…+Cnk （n-k+1）+…+Cnn ×1，①
    把F（1）倒序书写可得
    F（1）=Cnn ×1++…+ （k+1）+…+Cn1 （n）+Cn°（n+1），②
    把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ Cn°+Cn1 +…+Cnk +…+Cnn ）=（n+2）2n，
    故F（1）=（n+2）2n-1 ．
    F（0）=Cn°f0（0）+Cn1f1（0）+…+Cnkfk（0）+…+Cnnfn（0）=0．
    （2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2n-1 -0≤（n+2）2n-1 ，故不等式成立．
    分析：（1）由条件求出fk（1）的值，进而求得F（1）的解析式，再把F（1）倒序书写，将这两个式子相加再除以2，利用二项式系数的性质求出F（1）的值．根据fk（0）的值求得F（0）的值．
    （2）由于F（1）-F（0）=F（1）-0≤F（1），证得结论．
    点评：本题主要考查二项式系数的性质，求函数值的方法，把F（1）倒序书写，是解题的关键，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    ax
    x+1
    （a为非零常数），定义：f1（x）=f（x），fk+1（x）=f[fk（x）]，k∈N*，例如：f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…
    （1）当a=2时，求f2(1)，f3(-
    1
    7
    )    的值；
    （2）若对于任意x≠-1，等式f2（x）=x恒成立，求a的值；
    （3）当a确定后，fk（x），k∈N*的值都由x的值确定．当a=2时，试通过对fk（x）的探究，写出一个使得集合{fk（x）}为有限集的真命题（不必证明）．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年四川省成都七中高二（上）数学单元测试：排列组合与二项式定理（解析版） 题型：解答题

    已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
    （1）试用n，k表示：F（1），F（0）
    （2）证明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
    （1）试用n，k表示：F（1），F（0）
    （2）证明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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