Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．

Answer 1

解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴
∴即该几何体的体积．
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，∵AB=，BF=AF═．
∴．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为． 
解法2：
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．  
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，
∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，利用体积公式，可求该几何体的体积；
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，在△BAF中，利用余弦定理可求异面直线DE与AB所成的角的余弦值；
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，确定向量的坐标，利用向量的夹角公式，可求异面直线DE与AB所成的角的余弦值．
点评：本题考查几何体体积的计算，考查线线角，考查利用向量法解决空间角，属于中档题．