Question

  已知离心率为的椭圆的右焦点是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交轴于M、N两点．

（I）求椭圆的方程；

（II）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、及化归与转化思想．满分14分．

解：（I）∵圆的圆心是，

∴椭圆的右焦点 F，……………………１分

∵椭圆的离心率是，∴

∴，∴椭圆的方程是．……………………４分

（II）解法一：设，

由得，∴．…………５分

直线的方程:，

化简得 ．

又圆心到直线的距离为1，∴ ，………………６分

∴，

化简得， ………………………………………………７分

同理有． ……………………………………………… ８分       　　　　　　　　　　　　　         

∴，，……………………………………………………9分

∴．………………………………10分

∵是椭圆上的点，∴，

∴，……………………11分                          　　　　　　

记，则，

时，；时，，

∴在上单调递减，在内也是单调递减，………………13分

∴，

当时，取得最大值，

此时点P位置是椭圆的左顶点．      …………………………14分   

解法二：由得，∴．……５分

设过点P的圆的切线方程为，

∵圆心到直线的距离为1，

∴，化简得，∴．…………６分

设则，…………………………8分

∴，，……………………………………9分

∴．…………………10分

∵是椭圆上的点，∴，

∴，………………11分                          　　　　　　

记，则，

时，；时，，

∴在上单调递减，在内也是单调递减，…………13分

∴，

当时，取得最大值，

此时点P位置是椭圆的左顶点．   ………………………………14分