Question

20．设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（　　）

• A． πf（1）＞ef（lnπ）
• B． πf（1）=ef（lnπ）
• C． πf（1）＜ef（lnπ）
• D． πf（1）与ef（lnπ）的大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（1）与g（lnπ）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又1＜lnπ，
所以g（1）＜g（lnπ），
所以$\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（lnπ）}{{e}^{lnπ}}$，
即πf（1）＜ef（lnπ），
故选C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属中档题．