Question

某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

Answer 1

当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.

解析:

如图所示，建立平面直角坐标系，

则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.

直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.

设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x＞200).

由经过两点的直线的斜率公式

k_PC=,

k_PB=.

由直线PC到直线PB的角的公式得

tan∠BPC=

= (x＞200).

要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式

x+-288≥2-288,

当且仅当x=时上式取得等号.

故当x=320时，tan∠BPC最大.

这时，点P的纵坐标y为y==60.

由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.