Question

（1992•云南）设抛物线经过两点（-1，6）和（-1，-2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是4

10

，求抛物线的方程．

Answer 1

分析：由两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（-1，6）在抛物线上，代入可得2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．因此p=

8

a-1

．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2x+7 (y-2)2= 16 a-1 (x+a)

，化为4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1），利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p．

解答：解：∵两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．
∵点（-1，6）在抛物线上，∴2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．∴p=

8

a-1

．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2x+7 (y-2)2= 16 a-1 (x+a)

，化为4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x₁+x₂=

9-5a

a-1

，x₁x₂=

9a-25

4(a-1)

．
∵|AB|=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

10

，
∴5[(

9-5a

a-1

)2-

9a-25

a-1

]=16×10，化为2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

．
∵a＞0，∴a=

3

2

．
∴p=

8

3 2 -1

=16．
∴抛物线的方程为(y-2)2=32(x+

3

2

)．

点评：熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．