Question

(本小题满分12分)已知二次曲线Ck的方程：.

（Ⅰ）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（Ⅱ）若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程

 

Answer 1

（Ⅰ）即k<4时，方程表示椭圆． 当即4<k<9时，方程表示双曲线（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）椭圆双曲线标准方程的特点（2）解决直线和椭圆的问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式.第四步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（Ⅰ）当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．

当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线．

（Ⅱ）解法一：由化简得，(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)

∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程

为.

解法二：若Ck表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为，

联立消去y得，(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0∵Ck与直线y＝x＋1有公共点，∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，∵双曲线实轴最长，应取3，

此时双曲线方程为

考点：椭圆双曲线标准方程的特点，求双曲线方程