Question

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（14分）
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得每件产品的利润为50+x-40，此时的销量为210-10x，进而可得每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元的关系式，结合实际，即既要涨价，还应保证销量不能为负值得到自变量x的取值范围；
（2）根据（1）中所得函数的解析，结合二次函数的图象和性质及x为正整数，可得每月的最大利润．
解答：解：（1）当每件商品的售价上涨x元时，
每件产品的利润为50+x-40，
此时的销量为210-10x，
∴每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元满足
y=（210-10x）（50+x-40）=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x为正整数）；
（2）y=-10（x-5.5）²+2402.5．
∵a=-10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为正整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
点评：本题考查的知识点是二次函数的应用，函数模型的选择与应用，其中根据题意分析出每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元的关系式，是解答的关键．