Question

如果关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为______．

Answer 1

将方程ax2+

1

x

=3x改写为

1

x

=3x-ax2，令y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=

1

x

与y₂=3x-ax²的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线y1=

1

x

在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点(

3

a

，0)，研究知，当a＜2时，双曲线y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y₂=3x-ax²=3x为直线，此时，双曲线y1=

1

x

与直线y₂=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点(

3

a

，0)，此时，双曲线y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故答案为：（-∞，0]∪{2}．