如图.现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛 .正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为(不小于)的扇形花坛.以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通.岛口宽不小于.绕岛行驶的路宽均不小于.(1)求的取值范围,(运算中取)(2)若中间草地的造价为元.四个花坛的造价为元.其余区域的造价为元.当取何值时.可使“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.

（1）求的取值范围；（运算中取）

（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

【答案】

(1) ,(2) .

【解析】

试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.

试题解析：（1）由题意得， 4分

解得即. 7分

（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得

， 10分

令，则，

由，解得或， 12分

列表如下：

9	(9,10)	10	(10,15)	15
	－	0	＋	0
	↘	极小值	↗

所以当，取最小值.

答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分

考点：利用导数求最值，解不等式.

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