Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f（a_n）=，g（a_n）=10（a_n-1）．
∴（a_n+1-a_n）×10（a_n-1）+，化为（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知：对任意的n∈N^*，a_n-1≠0．
∴10a_n+1-9a_n-1=0，化为10（a_n+1-1）=9（a_n-1）．
∴，
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：，
∴=．
∴==．
当n=7时，，即b₈=b₇；
当n＜7时，，b_n+1＞b_n；
当n＞7时，，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或8时，b₈=b₇=取得最大值．
分析：（Ⅰ）通过代入化简整理，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，通过作商即可比较出最大值．
点评：熟练掌握等比数列的定义、通过作商法比较大小是解题的关键．