Question

下列命题中，真命题是    ．
①若f′（x）=0，则函数f（x）在x=x处取极值．
②函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上存在零点．
③“a=1”是函数在定义域上是奇函数的充分不必要条件．
④将函数y=2cos²x-1的图象向右平移个单位可得到y=sin2x的图象．
⑤点是函数图象的一个对称中心．

Answer 1

【答案】分析：令f（x）=x³，可判断①错误；根据函数零点存在定理，可判断②错误；根据奇函数的定义求出a值，利用充要条件的定义，可判断③的真假，根据函数图象平移变换法则，求出平移后函数的解析式，对照后可判断④的真假，根据正弦型函数的对称性，将点的横坐标代入可判断⑤的真假．
解答：解：令f（x）=x³，则f′（x）=3x²，当x=0时，f′（x）=0，此时函数f（x）不是极值，故①错误；
函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上是连续的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根据函数零点存在定理，可得函数在区间（1，e）上存在零点，故②正确；
函数在定义域上是奇函数，则==，即解得a=±1，故③“a=1”是函数在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确；
将函数y=2cos²x-1=cos2x的图象向右平移个单位可得到y=cos[2（x-）]=cos（2x-）=-sin2x的图象，故④错误．
当x=时，函数==，此时函数取最大值，故⑤错误
故答案为②③
点评：本题是命题的真假判断为载体考查了函数取极值的条件，函数的零点，奇函数的定义，函数图象的平移，函数的对称性，是函数与逻辑的综合应用．