Question

已知下列结论：
（1）命题“若（x-1）（y-2）=0，则（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命题为真；
（2）命题“若x＞0，y＞0，则xy＞0”的否命题为假；
（3）命题“若a＜0，则x²-2x+a=0有实数根”的逆否命题为真；
（4）“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要条件．
其中正确结论的个数为

 

．

Answer 1

分析：（1）命题“若（x-1）（y-2）=0，则（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命题为“若（x-1）²+（y-3）²=0，则（x-1）（y-2）=0”真；
（2）命题“若x＞0，y＞0，则xy＞0”的否命题为“若x≤0，或y≤0，则xy≤0”，假；
（3）命题“若a＜0，则x²-2x+a=0有实数根”的逆否命题主要是考虑其根的判别式，为真；
（4）“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要条件．

解答：解：（1）∵x=1，y=2时，有（x-1）（y-2）=0，故命题“若（x-1）（y-2）=0，则（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命题为真；
（2）∵当x≤0或y≤0时，不能得到xy≤0，故命题“若x＞0，y＞0，则xy＞0”的否命题为假；
（3）∵原命题为真，故命题“若a＜0，则x²-2x+a=0有实数根”的逆否命题为真；
（4）∵“x-3=

3-x

”可得x=3，故“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要条件为真．
故答案为4

点评：一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．