Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用双曲线的简单性质求出直线方程，求出三角形三个顶点的坐标，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．
解答：解：由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程为 ，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程为  ，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由 得 D （-，-），又 b== a，
∴FD==，BD==，
三角形BDF中，由余弦定理得 cos∠BDF，
∴cos∠BDF=，
故选 C．
点评：本题考查求直线方程，求两直线的焦点坐标，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用．