Question

24、（理科加试题）若5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明．

Answer 1

分析：先由当n=1时，5¹+2×3⁰+1=8，得出m≤8，进而利用数学归纳法证5ⁿ+2×3^n-1+1．（n∈N^*）能被8整除．

解答：解：当n=1时，5¹+2×3⁰+1=8，∴m≤8，（2分）
下证5ⁿ+2×3^n-1+1．（n∈N^*）能被8整除．（3分）
1、当n=1时已证；（4分）
2、假设当n=k（k∈N^*）时命题成立，即5^k+2×3^k-1+1能被8整除．（5分）
则当n=k+1时，5^k+1+2×3^k+1=5•5^k+6•3^k-1+（16分）=（5^k+2•3^k-1+1）+4（5^k+3^k-1），（7分）
∵5^k+2×3^k-1+1能被8整除，而5^k+3^k-1为偶数，
∴4（5^k+3^k-1）也能被8整除．即当n=k+1时命题也成立．（8分）
由1、2得m的最大值为8（10分）

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．