Question

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是______．

Answer 1

由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）
∴lgkx-2lg（x+1）=0
∴lgkx-lg（x+1）²=0，即kx=（x+1）²在（0，+∞）仅有一个解
∴x²-（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解
令f（x）=x²-（k-2）x+1
又当x=0时，f（x）=x²-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）²-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0时lgkx无意义，舍去
∴k=4
当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）²在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意
故答案为：k=4或k＜0．