Question

以O为原点,以所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系.设·=1,点F的坐标为(t,0),t∈［3,+∞),点G的坐标为(x₀,y₀).

(1)求x₀关于t的函数x₀=f(t)的表达式,判断函数f(t)的单调性,并证明你的判断;

(2)设△OFG的面积S=t,若以O为中心、F为焦点的椭圆经过点G,求当||取得最小值时椭圆的方程.

Answer 1

解：(1)由题意知=(x₀-t,y₀), =(t,0),则·=t(x₀-t)=1.

解得x₀=f(t)=t+.

    设t₁＞t₂≥3,则f(t₁)-f(t₂)=(t₁+)-(t₂+)=(t₁-t₂)-=(t₁-t₂).

∵t₁-t₂＞0,t₁t₂-1＞0,t₁t₂＞0,

∴f(t₁)-f(t₂)＞0,f(t₁)＞f(t₂),函数f(t)在区间［3,+∞］上单调递增.

(2)由S=|||y₀|=×t×|y₀|=t,得y₀=±.

∴点G的坐标为(t+,±),||²=(t+)²+.

∵函数f(t)在区间［3,+∞］上单调递增,

∴当t=3时,| |取得最小值,此时点F、G的坐标分别为(3,0)、(,±).

    由题意设椭圆方程为+=1.

    由点G在椭圆上,得+=1,

    解得b²=9.

∴所求椭圆方程为+=1.