Question

设0＜θ＜，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1 有4个不同的交点，
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组，
即，有4个不同交点等价于，
即，
又因为，所以得θ的取值范围为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程，
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为，
因为cosθ在上是减函数，
所以由，知r的取值范围是。