Question

如图，已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM⊥PF并交x轴于M点，延长MP到N，使|PN|=|PM|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点，若

OA

•

OB

=-4，且4

6

≤|AB|≤4

30

，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，根据

OA

•

OB

=-4，推断出x₁x₂+y₁y₂=-4进而求得y₁y₂的值，把直线与抛物线方程联立消去x求得y₁y₂的表达式，进而气的b和k的关系式，利用弦长公式表示出|AB|²，根据|AB|的范围，求得k的范围．

解答：解：（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，

y

2

）（x＞0）
∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

y 2

x

•

y 2

-1

=-1，∴y²=4x（x＞0）即为所求．
（2）设直线l方程为y=kx+b，l与抛物线交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

OA

•

OB

=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y12y22

16

+y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，
由

y2=4x y=kx+b

?ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂=

4b

k

=-8，b=-2k，
当△=16-16kb=16（1+2k²）＞0时，
|AB|²=（1+

1

k2

）（y₂-y₁）²=

1+k2

k2

[（y₁+y₂）²-4（y₁y₂）]=

1+k2

k2

（

16

k2

+32）
由题意，得16×6≤

1+k2

k2

（

16

k2

+32）≤16×30
解得，

1

4

≤k²≤1，

1

2

≤k≤1或-1≤k≤-

1

2

，
即所求k的取值范围是[-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．