Question

【题目】给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意的，都有，则称与“比较接近”.

（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“比较接近”；

（2）设数列的前四项为：，是一个与比较接近的数列，记集合，求中元素的个数；

（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与较接近，且在中至少有1009个为正，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）接近；

（2）3或4；

（3）

【解析】

（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；
（2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求中元素的个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差的范围，结合新定义“接近”，分别取满足题意的数列，再进行推理和运算，即可得到所求的范围．

（1）数列与“比较接近”，理由如下：

因为是首项为1，公比为的等比数列，所以，

又因为，所以，

所以，

所以数列与“比较接近”.

（2）因为是一个与比较接近的数列，所以，即，

因为数列的前四项为：，所以，，，，

所以在中与可能相等，与可能相等，但与不可能相等，与不可能相等，

所以集合，中元素的个数是3个或4个，

所以或；

（3）因为是公差为的等差数列，所以，

①若，取，数列满足：与较接近，且，

则中有2018个正数，满足题意；

②若，取，得，数列满足：与较接近，

，

则中有2018个正数，满足题意；

③若，取，且 ，数列满足：与较接近，

则，所以，

则中恰有1009个正数，满足题意；

④若，若存在数列满足：与较接近，即为，

可得，

则中无正数，不符合题意。

综上可得：的取值范围是.