Question

（本题满分12分）设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为，左焦点到左准线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

Answer 1

解  （1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

则 ，．

由 ，即 ，得 ．

于是 a² = b² + c² = 21 + 7 = 28，椭圆C的方程为．………………… 5分

（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x = y代入中，得，则点P（，），Q（，），于是点O到l的距离为．                                                        …………………… 7分

若直线l的斜率存在，设l的方程为y = kx + m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组的两个实数解，

消去y，整理，得（3 + 4k²）x² + 8kmx + 4m²－84 = 0，

∴ △ =（8km）²－4（3 + 4k²）（4m²－84）= 12（28k²－m² + 21）＞0，     ①

，．                                                               ②

…………………… 9分

∵ OP⊥OQ，∴ k_OP · k_OQ =－1，即 ，x₁x₂ + y₁y₂ = 0．

于是 x₁x₂ +（kx₁ + m）（kx₂ + m）=（1 + k²）x₁x₂ + km（x₁ + x_­2）+ m² = 0．  ③

将 x₁ + x₂，x₁x₂ 代入上式，得 ，

∴（k² + 1）（4m²－84）－8k²m² + m²（4k² + 3）= 0，

化简，得 m² = 12（k² + 1）．                                         ④

④代入①满足，因此原点O到直线l的距离 ．

…………………… 12分