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(2012•蓝山县模拟)已知定义在R上的函数f(x)=asinωx+bcosωx,(ω>0,a>0,b>0)周期为π,f(
π
4
)=
3
,f(x)最大值为2
(1)写出f(x)的表达式;
(2)求函数f(x)在区间[-
π
2
π
2
]
上的单增区间.
分析:(1)利用辅助角公式化简函数的解析式,由周期求出ω,由函数的最大值为
a2+b2
=2,以及 f(
π
4
)=
3
=a,求得a、b的值,即可得到函数的解析式.
(2)令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.再由x∈[-
π
2
π
2
]
,进一步确定函数的增区间.
解答:解:(1)∵函数f(x)=asinωx+bcosωx=
a2+b2
sin(ωx+∅),其中tan∅=
b
a

由周期等于π可得
ω
=π,由此求得ω=2.
再由最大值为
a2+b2
=2,以及 f(
π
4
)=
3
=a,解得
a=
3
b=1

∴函数f(x)=asinωx+bcosωx=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
).
(2)令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,解得  kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈z.
故在区间[-
π
2
π
2
]
上的单增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z.
点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,辅助角公式的应用,求复合三角函数的周期性和增区间,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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