Question

已知动点P在椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上，点M在圆C₂：（x-3）²+y²=1上，点A（3，0）满足PM⊥AM，则|PM|的最小值为

3

．

Answer 1

分析：设点P（s，t），代入椭圆方程，可得t2=16-

16s2

25

，s∈[-5，5]．利用PM⊥AM，可得|PM|²=|PA|²-|AM|²=

9

25

(s-

25

3

)2-1，利用二次函数在s∈[-5，5]内单调递减，即可得出|PM|²取得最小值．

解答：解：设点P（s，t），则

s2

25

+

t2

16

=1，可得t2=16-

16s2

25

，s∈[-5，5]．
∵PM⊥AM，∴|PM|²=|PA|²-|AM|²=（s-3）²+t²-1=s2-6s+8+16-

16s2

25

=

9

25

(s-

25

3

)2-1，
∵上述二次函数在s∈[-5，5]内单调递减，因此当s=5时，|PM|²取得最小值=3，即|PM|的最小值为

3

．
故答案为

3

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程与性质、勾股定理、二次函数的单调性等是解题的关键．