Question

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）²+y²=1于点B、C，
（理）在BC上取一点P，使P点满足：

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）（理）令P（x，y），因为

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)可得x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），由

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，可求x=

2xBxC

xB+xC

①
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）联立直线与圆的方程，结合方程的跟与系数关系结合①，得x=

a2+3

2-ak

，y=kx+a=

2a+3k

2-ak

，消去k可求
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以

2

x

=

1

xB

+

1

xc

⇒x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述轨迹过为定点（

3

2

，0）的直线在圆M内部分，由

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0，利用弦长公式可求|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3 (a2+4)2

代入三角形面积公式S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 (a2+3) +2

，结合函数的单调性可求

解答：解：（1）（理）令P（x，y），因为

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
所以x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x）
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

①
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）
又由

y=kx+a (x-2)2+y2=1

得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
∴xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

2a+3k

2-ak

代入①，得x=

a2+3

2-ak

，
∴y=kx+a=

2a+3k

2-ak

消去k，得所求轨迹为2x-ay-3=0，（在圆M内部）
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以  

2

x

=

1

xB

+

1

xc

⇒x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述轨迹过为定点（

3

2

，0）的直线在圆M内部分
，由

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0
则|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3 (a2+4)2

∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 (a2+3) +2

令t=a²+3，则t≥3，而函数f(t)=t+

1

t

在t≥3时递增，
∴S△MRS≤

1 3+ 1 3 +2

=

3

4

．
∴S△MRS|max=

3

4

，此时t=3，a=0，

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点的轨迹方程的求解，解答本题要求考生具备一定的逻辑推理的能力及运用所学知识解决问题的综合能力