Question

（1）已知tan(α+

π

4

)=-3，求

sinα(3cosα-sinα)

1+tanα

的值．
（2）如图：△ABC中，|

AC

|=2|

AB

|，D在线段BC上，且

DC

=2

BD

，BM是中线，用向量证明AD⊥BM．（平面几何证明不得分）

Answer 1

分析：（1）先把已知条件利用两角和与差的正切函数公式化简，然后通过观察所求的式子发现：分子分母中既有弦还有切，而已知条件只能求出正切，所以把原式里的正弦和余弦化切，即给分子分母都除以cos²α（分母还应根据弦切互化公式化弦），最后代入求值；
（2）要证明AD⊥BM，即要证明

AD

•

BM

=0，所以就要表示出

AD

和

BM

，利用三角形法则分别表示出即可．

解答：解：（1）∵tan(α+

π

4

)=-3，∴tanα=2
∴

sinα(3cosα-sinα)

1+tanα

=

3tanα-tan2α

(1+tanα)(1+tan2α)

=

2

15

（2）在三角形ABC中，利用三角形法则得

AD

-

AB

=

BD

，

AC

-

AD

=

DC

，
因为

DC

=2

BD

，代入求得：

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

；
因为M为AC的中点，所以

AM

=

MC

，而

BM

-

BA

=

AM

，

BC

-

BM

=

MC

，则有

BM

=-

AB

+

1

2

AC

，
∴

AD

•

BM

=

1

6

(4|

AB

|2-|

AC

|2)=0，
∴AD⊥BM．

点评：本题考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及先切互化公式，向量的表示法，让学生学会了用向量的方法证明两条线段的垂直，本题是一道多知识点的综合题，要求学生对每一个知识点都要灵活掌握和应用．