Question

已知a、b为正有理数，设m=

b

a

，n=

2a+b

a+b

．
（Ⅰ）比较m、n的大小；
（Ⅱ）求证：

2

的大小在m、n之间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将m、n作差后变形到因式乘积的形式，分类讨论此差与零的关系，从而得出它们的大小关系．
（Ⅱ）先求出m-

2

与 m+

2

的解析式，考查（m-

2

）与 （m+

2

）的积的符号小于零，故

2

的大小在m、n之间．

解答：解：（Ⅰ）m-n=

b

a

-

2a+b

a+b

=

b2-2a2

a(a+b)

=

(b+ 2 a)(b- 2 a)

a(a+b)

，
∵a、b为正有理数，∴b≠

2

a，
∴当b＞

2

a时，m＞n，当b＜

2

a时，m＜n．
（Ⅱ）∵m-

2

=

b

a

-

2

=

b- 2 a

a

，n-

2

=

2a+b

a+b

-

2

=

( 2 -1)( 2 a-b)

a+b

，
∴(m-

2

)(n-

2

)=-

( 2 -1)( 2 a-b)

a(a+b)

＜0，
因此，

2

的大小在m、n之间．

点评：本题考查不等式的基本性质，体现了分类讨论的数学思想；证明

2

的大小在m、n之间，只要证明 （m-

2

）与 （m+

2

）的积的符号小于零即可．