Question

已知圆系C：(x-t)2+(y-t2)2=t2+(t2-

1

2

)2(t∈R)，圆C过y轴上的定点A，线段MN是圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n．对于下列命题：
①不论t取何实数，圆心C始终落在曲线y²=x上；
②不论t取何实数，弦MN的长为定值1；
③不论t取何实数，圆系C的所有圆都与直线y=

1

2

相切；
④式子

m

n

+

n

m

的取值范围是[2，2

2

]．
其中真命题的序号是

 

（把所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：分析圆的方程特点，圆心C（t，t²）在直线 y=x²上；由弦长公式求弦MN的长；由圆心到直线的距离和半径
作比较，判断直线和圆的位置关系；先求出m和n的值，有基本不等式可证

m

n

+

n

m

≥2，由余弦定理求出
cosA，由三角形的面积可求 sinA，再运sinA+cosA≤

2

，可得  

m

n

+

n

m

≤2

2

，从而得出结论．

解答：解：由圆C的方程知，圆心C（t，t²）在曲线y=x²上，故①不正确．
由弦长公式得：弦MN的长为 2

r2-d2

=2

[t2+(t2- 1 2 )2-t4

=2

1 4

=1，故②正确．
圆心C（t，t²）到直线y=

1

2

 的距离等于|t²-

1

2

|，而半径为

t2+(t2- 1 2 ) 2

，二者不一定相等，
故③不正确．
在圆C方程令y=0，可得 x²-2t²x+t⁴-

1

4

=0，∴x=t²+

1

2

  或 x=t²-

1

2

，
即 M（t²+

1

2

，0），N（t²-

1

2

，0），由圆C方程知A（0，

1

2

），
∴|AM|=m=

(t2+ 1 2 ) 2+ 1 4

，|AN|=n=

(t2- 1 2 ) 2+

1

4

，
由基本不等式得

m

n

+

n

m

≥2（当且仅当m=n时等号成立），
△AMN中，由余弦定理得 1=m²+n²-2mncosA，∴cosA=

m2+n2-1

2mn

，
△AMN的面积为

1

2

•m•n•sinA=

1

2

×1×

1

2

，∴sinA=

1

2mn

，
∵sinA+cosA=

m2+n2

2mn

≤

2

，∴

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

≤2

2

，
 即 2

2

≥

m

n

+

n

m

≥2，故④正确．
故答案为 ②④．

点评：本题综合考查圆系方程的性质，重点考查圆心的坐标特征，点到直线的距离公式、弦长公式、直线和圆的
位置关系以及余弦定理的应用，并运用sinA+cosA≤

2

 这个结论，属于中档题．