Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一点，从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k₁，k₂
（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
（2）若r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，①求证：k₁k₂=-$\frac{1}{4}$；②求OP•OQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）椭圆C的右焦点是（$\sqrt{3}$，0），x=$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{1}{2}$，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；
（2）①因为直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，与圆R相切，推出k₁，k₂是方程（1+k²）x²-（2x₀+2ky₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k₁k₂．结合点M（x₀，y₀）在椭圆C上，证明k₁k₂=-$\frac{1}{4}$．
②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通过4k₁k₂+1=0，推出y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，利用P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），在椭圆C上，推出OP²+OQ²=5，即可求出OP•OQ的最大值．

解答 解：（1）椭圆C的右焦点是（$\sqrt{3}$，0），x=$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{1}{2}$，
∴圆M的方程：（x-$\sqrt{3}$）²+（y$±\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$；
（2）因为直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，与圆R相切，
所以直线OP：y=k₁x与圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$联立，可得（1+k₁²）x²-（2x₀+2k₁y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0
同理（1+k₂²）x²-（2x₀+2k₂y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0，
由判别式为0，可得k₁，k₂是方程（x₀²-$\frac{4}{5}$）k²-2x₀y₀k+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的两个不相等的实数根，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}$，
因为点M（x₀，y₀）在椭圆C上，所以y²=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
所以k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$；
（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为4k₁k₂+1=0，所以$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+1=0，即y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
因为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在椭圆C上，所以y₁²y₂²=（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
整理得x₁²+x₂²=4，
所以y₁²+y₂²=1
所以OP²+OQ²=5．  
（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP²+OQ²=5，
综上：OP²+OQ²=5
所以OP•OQ≤$\frac{1}{2}$（OP²+OQ²）=2.5，
所以OP•OQ的最大值为2.5．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．