Question

（07年湖北卷）（14分）

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图）

 

Answer 1

本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解析：解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，

直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是．

，

当，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．