【题目】确定函数
的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
【答案】定义域：
；值域：
；单调区间：
的递减区间是
；递增区间
；奇偶性：非奇非偶函数；周期性：周期函数，且最小正周期是
【解析】
化简函数式为
，根据对数函数的真数
，结合正弦函数的性质，可得定义域；由正弦函数的有界性和对数函数的单调性，可得的值域；利用复合函数单调性增减原则，结合正弦型函数的单调性，即可求出的单调性；先判断定义域是否关于原点对称，否则就是非奇非偶，若对称，再判断
与的关系；的周期取决于
的周期.
由已知
.
（1）欲使有意义，必须，
,
即
,
所以的定义域为；
（2）
，
即
，所以的值域为.
（3）考虑到，即
.
当
，即
时，
单调递增，单调递减，
所以的递减区间是
.
同理可求，的递增区间
.
（4）由于的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.
（5）由于是周期为的函数，
所以是周期函数，且最小正周期是.
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【题目】已知数列
的各项均为正数，其前n项的积为
，记
，
.
（1）若数列为等比数列，数列
为等差数列，求数列的公比.
（2）若
，
，且
①求数列的通项公式.
②记
，那么数列
中是否存在两项
，（s，t均为正偶数，且
），使得数列
，
，
，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知椭圆C：
（
）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线
上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当
最小时，求点T的坐标.
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【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，底面是直角梯形，其中
，
，
，
，
为棱
上的点，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）设
为棱
上的点（不与
，
重合），且直线
与平面所成角的正弦值为
，求
的值．
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【题目】某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前
天参加抽奖活动的人数进行统计，
表示第
天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
，获得“二等奖”的概率为
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额
的分布列及数学期望．
参考公式：
，
，
，
．
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【题目】如图甲所示的平面五边形
中，
，
，
，
，
，现将图甲所示中的
沿
边折起，使平面
平面
得如图乙所示的四棱锥
．在如图乙所示中
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）在棱
上是否存在点
使得
与平面
所成的角的正弦值为
？并说明理由．
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（
）
.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求
的值.
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