Question

9．已知函数f（x）=k|x|（x+4）-1．
（1）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=2至少有三个不相等的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x分类，去绝对值，利用二次函数单调性求单调性
（2）根的问题转换为两函数图象交点问题，利用数形结合的方法求解．

解答 解：（1）当x≥0时，f（x）=kx（x+4）-1，
又k＞0，
∴（0，+∞）内函数递增；
当x＜0时，f（x）=-kx（x+4）-1 k＞0
函数增区间为（-∞，-2），减区间为（-2，0）．
故函数的增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）；减区间为（-2，0）．
（2）由（1）知当x≥0时最小值为f（0）=-1，当x＜0时，f（x）_max=f（-2）=4k-1

∴4k-1＞2，
∴k＞$\frac{3}{4}$，
故k的取值范围为k＞$\frac{3}{4}$．

点评 考察绝对值函数，分类讨论，转换思想，数形结合等思想．