Question

19、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（I）  求异面直线BD与B₁C所成的角；
（II）  求证平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为1的正方体，结合正方体的几何特征，我们易得∠D₁B₁C就是异面直线BD与B₁C所成的角，解三角形D₁B₁C，即可得到异面直线BD与B₁C所成的角；
（II）由正方体的性质可知DD₁⊥面AC，即DD₁⊥AC，又由AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

解答：解：（Ⅰ）如图，DB∥D₁B₁，
则∠D₁B₁C就是异面直线BD与B₁C所成的角．
连接D₁C，在△D₁B₁C中，D₁B₁=B₁C=CD₁，
则∠D₁B₁C=60°，
因此异面直线BD与B₁C所成的角为60°．（4分）
（Ⅱ）由正方体的性质可知DD₁⊥面AC，
故DD₁⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥面B₁D₁DB；
又AC?平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．（8分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及异面直线及其所成的角，熟练掌握正方体的几何特征，从中分析出线与线、线与面的平行、垂直关系及夹角是解答本题的关键．