Question

已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，底面边长为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上，则

1

EF

+

1

FG

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：分别设EF=x，FG=y，BF=a，FC=b，由AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC可建立模型

1

EF

+

1

FG

 =

a+b

a

+

a+b

2b

=

1+b

a

+

a

2b

+

1

2

=

3

2

+

b

a

+

a

2b

，再用基本不等式法求得最小值．

解答：解：设EF=x，FG=y，BF=a，FC=b
∵AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC
即1：EF=（a+b）：a，2：FG=（a+b）：b或1：FG=（a+b）：2b

1

EF

+

1

FG

 =

a+b

a

+

a+b

2b

=

1+b

a

+

a

2b

+

1

2

=

3

2

+

b

a

+

a

2b

≥≥

3

2

+2

b a • a 2b

=

3

2

+

2

∴

1

EF

+

1

FG

的最小值为

3

2

+

2

点评：本题主要考查四面体中各点线面的位置关系，同时，还考查了建立模型和解决模型的能力，属中档题．