Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则a=2，又点C(1，

3

2

)在椭圆E上，得

1

22

+

9

4b2

=1．解得b²=3．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），
则b=2，又点C(1，

3

2

)在椭圆E上，得

1

22

+

9

4a2

=1．解得a²=3，这与a＞b矛盾．C(1，

3

2

)
综上可知，椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                               …（4分）
解法二：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1.

解得m=

1

4

，n=

1

3

．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                     …（4分）
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，它与直线x=4的交点坐标为P(4，

6y1

x1+2

)，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4，

2y2

x2-2

)．       …（10分）
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0．
因此结论成立．
综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分）
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)．
直线BN的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x2-2

(x-2)．   …（10分）
由直线AM与直线BN的方程消去y，得x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2]

(x1+x2)+2x2-4

=

2[ 8(k2-3) 3+4k2 - 24k2 3+4k2 +4x2]

8k2 3+4k2 -4+2x2

=

4(- 4k2+6 3+4k2 +x2)

- 4k2+6 3+4k2 +x2

=4．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                         …（14分）
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．                               …（10分）
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)．
直线BN的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x2-2

(x-2)．     …（12分）
由直线AM与直线BN的方程消去y得，x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[5(x1+x2)-8-3x1+x2]

x1+3x2-4

=4．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                     …（14分）