(本小题满分18分)已知函数,
(Ⅰ)若,求函数的极值;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在()上存在一点,使得成立,求的取值范围.
(Ⅰ)在处取得极小值1;(Ⅱ)时,在上单调递减,在上单调递增; 时,函数在上单调递增。
(Ⅲ) 或.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)的定义域为,
当时,,
1 |
|||
— |
0 |
+ |
|
极小 |
所以在处取得极小值1.
(Ⅱ),
①当时,即时,在上,在上,
所以在上单调递减,在上单调递增;
②当,即时,在上,
所以函数在上单调递增.
(III)在上存在一点,使得成立,即 在上存在一点,使得,
即函数在上的最小值小于零.
由(Ⅱ)可知
①当,即时,在上单调递减,
所以的最小值为,由可得,
因为,所以;
②当,即时, 在上单调递增,
所以的最小值为,由可得;
③当,即时, 可得的最小值为,
因为,所以
故
此时,不成立.
综上讨论可得所求的取值范围是:或.
考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值。
点评:①极值点的导数为0,但导数为0的点不定是极值点。②利用导数研究函数的单调性时,一定要先求函数的定义域。③注意恒成立问题与存在性问题的区别。
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分18分)如图,将圆分成个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为。求
(Ⅰ);
(Ⅱ)与的关系式;
(Ⅲ)数列的通项公式,并证明。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分18分)已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*?),若数列{bn}是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶等差数列;若数列{cn}是一个非零常数列,则称数列{an}是二阶等差数列?(1)试写出满足条件a1=1,b1=1,cn=1(n∈N*?)的二阶等差数列{an}的前五项;(2)求满足条件(1)的二阶等差数列{an}的通项公式an;(3)若数列{an}首项a1=2,且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*?),求数列{an}的通项公式
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
(本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(文)已知数列中,
(1)求证数列不是等比数列,并求该数列的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)设数列的前项和为,若对任意恒成立,求的最小值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)(文)当时,试判断函数单调性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(理)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围;
(3)若f(1)=,且g(x)=a 2x+a - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
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