Question

如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=
∠BAC₁=60⁰，AC₁与A₁C相交于0．
（1）求证．BO⊥面AA_lC_lC；
（2）求三棱锥C₁﹣ABC的体积；
（3）求二面角A₁﹣B₁C₁﹣A的余弦值．

Answer 1

证明：（1）由题意得四边形AA₁C₁C为菱形，又∠AA_lC_l=60⁰，
∴△AA_lC_l为正三角形，即AC₁=AA₁，
又∵AB=AA₁，∴AC₁=AB，
又∠BAC₁=60⁰，∴△BA_lC_l为正三角形，
又∵O为AC₁的中点
∴BO⊥AC₁，
又面面ABC₁⊥面AA_lC_lC，
∴BO⊥面AA_lCC                              
（2）由（1）得
（3）（法一）以O为坐标原点建系如图，
则
∴平面A₁B₁C₁的一个法向量为，
平面B₁C₁A的一个法向量为
设二面角A₁﹣B₁C₁﹣A的平面角为θ，
则
（法二）连接AB₁交A₁B与F，
易得C₁O⊥A₁F，AB₁⊥A₁F
∴A₁F⊥平面B₁C₁A，又C₁O⊥OF，
作FG∥C₁O交B₁C₁于G，
连接A₁G得FG⊥B₁C₁，A₁G⊥B₁C₁
则∠A₁GF即为二面角A﹣B₁C₁﹣A₁易得FG=1，
，
故
cos∠A₁GF=