Question

（2011•东城区一模）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为

1

2

，乙、丙面试合格的概率都是

1

3

，且面试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）求签约人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P(A)=

1

2

，P(B)=P(C)=

1

3

．由至少有1人面试合格的概率是1-P（

.

A

.

B

.

C

），能求出至少有1人面试合格的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求了P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．
由题意知A，B，C相互独立，
且P(A)=

1

2

，P(B)=P(C)=

1

3

．
至少有1人面试合格的概率是：
1-P（

.

A

.

B

.

C

）
=1-P(

.

A

) P(

.

B

) P(

.

C

)
=1-

1

2

×

2

3

×

2

3

=

7

9

．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）+P（

.

A

.

B

 

.

C

）
=P(

.

A

)P(B)P(

.

C

)+P(

.

A

) P(

.

B

) P(C)+P(

.

A

)P(

.

B

) P(

.

C

)
=

1

2

×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

2

3

×

2

3

=

4

9

．
P（ξ=1）=P（A

.

B

C）+P（AB

.

C

）+P(A

.

B

.

C

)
=P(A)P(

.

B

) P(C)+P(A)P(B)P(

.

C

)P(A)P(

.

B

) P(

.

C

)
=

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=2）=P（

.

A

BC）=

1

2

×

1

3

×

1

3

=

1

18

，
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=

1

2

×

1

3

×

1

3

=

1

18

．
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	4 9	4 9	1 18	1 18

故ξ的期望Eξ=0×

4

9

+1×

4

9

+2×

1

18

+3×

1

18

=

13

18

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．