Question

已知集合，其中，表示和中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合，，分别求和；

（Ⅱ）若集合，求证：；

（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

解：（Ⅰ）由

         得.

         由

         得.--------------------------------------------------5分

（Ⅱ）证明：因为最多有个值，所以

又集合，

任取

当时,不妨设，则，

即.

当时，.

因此，当且仅当时， .

即所有的值两两不同，

所以   -----------------------------------------------9分

 （Ⅲ） 存在最小值，且最小值为．

不妨设可得

所以中至少有个不同的数，即

事实上，设成等差数列，

考虑，根据等差数列的性质，

当时，；

当时，；

因此每个和等于中的一个，或者等于中的一个.

所以对这样的,所以的最小值为.